Павел Лыткин
S:13:38:27 26.12
R:13:38:28 26.12
Теорию я +- наскатывал из chat gpt, насколько бред?
Числовые характеристики непрерывных случайных величин предоставляют информацию о распределении вероятностей этих величин. Рассмотрим основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
1. Математическое ожидание
Определение: Математическое ожидание (\(M(X)\) или \(\mu\)) непрерывной случайной величины \(X\) — это среднее значение, которое принимает случайная величина в долгосрочной перспективе.
Для непрерывной случайной величины это определяется как интеграл:
\[
M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx
\]
где \(f(x)\) — функция плотности вероятности (pdf) случайной величины \(X\).
Свойства:
• Линейность: Если \(a\) и \(b\) — константы, то:
\[
M(aX + b) = aM(X) + b
\]
• Неотрицательность: Если \(X \geq 0\) (сначала всегда непрерывно), то \(M(X) \geq 0\).
2. Дисперсия
Определение: Дисперсия (\(D(X)\) или \(\sigma^2\)) — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Для её вычисления используется следующая формула:
\[
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - M(X))^2 f(x) dx
\]
где \(M(X^2)\) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
Свойства:
• Неотрицательность: \(D(X) \geq 0\) для всех случайных величин.
• Линейность: Если \(Y = aX + b\):
\[
D(Y) = a^2 D(X)
\]
• Дисперсия суммы: Если \(X\) и \(Y\) независимы, то:
\[
D(X + Y) = D(X) + D(Y)
\]
3. Среднее квадратичное отклонение
Определение: Среднее квадратичное отклонение (\(\sigma\)) — это корень из дисперсии. Это также мера разброса значений, обозначающая, во сколько в среднем значения отличаются от математического ожидания:
\[
\sigma = \sqrt{D(X)}
\]
Свойства:
• Среднее квадратичное отклонение неотрицательно (\(\sigma \geq 0\)).
• Более чувствительно к отклонениям (экстремальным значениям) по сравнению с дисперсией, так как выражается в тех же единицах измерения, что и случайная величина.
Применение числовых характеристик
Эти характеристики широко используются в статистике, теории вероятностей и практике анализа данных для оценки и интерпретации случайных величин, а также в различных областях науки и инженерии.