Игнат Киреев
S:11:58:07 08.01
R:11:58:08 08.01
Первым делом необходимо выбрать обобщенную координату (перемещение любого тела системы). Удобнее всего брать то тело, скорость или ускорение которого необходимо найти. Это будет выступать за неизвестную в уравнении. Ставишь над этой координатой точку (это первая производная по времени, таким образом перемещение превратилось в скорость).
Следом, скорости всех остальных тел в системе (обладающих массой) необходимо выразить через эту обобщенную скорость. Делается это методом графов. Выбирается 2 точки, составляешь граф из начальной точки, в конечную. Условно граф из А в В, где угловое перемещение равно ω, расстояние l, угол α. Тогда у нас будут графы вида:
Vbx = Vax - ω*l*sin(α)
Vby = Vay + ω*l*cos(α)
Точки выбираются так, чтобы какая-то из скоростей в каждом уравнении (Vax, Vbx, Vby, Vay) была нулевой. Или, если точек больше двух, чтобы на одно уравнение приходилась одна неизвестная. Из соответствующего уравнения выражается скорость по оси, следом находится скорость тела по теореме Пифагора: Vb^2 = Vbx^2 + Vby^2.
Теперь мы знаем скорости каждого тела. Для тел, обладающих массой, можно определить кинетическую энергию каждого тела T1, T2, ..., Tn, где n - число тел, обладающих массой. Для каждого из тел это делается по одной из трёх формул:
1) Т = (m*V^2)/2, где m - масса тела, V - его скорость.
2) T = (I*ω^2)/2, где I - момент инерции тела (находится по формулам из физики (m*R^2)/2 для цилиндра, m*R^2 для кольца (где R - радиус соответствующего тела), m*ρ^2 (где ρ - радиус инерции).
3) T = (m*V^2)/2 + (I*ω^2)/2
Формулу выбираем исходя из движения тела. Если тело движется только поступательно, то используем формулу 1. Если тело только вращается, то формулу 2. Если тело движется и поступательно, и при этом вращается, то формулу (например, цилиндр катится по поверхности, тогда в качестве линейной скорости выбираем скорость его центра масс, то есть геометрического центра цилиндра).
Находим общую кинетическую энергию системы T, суммируя все найденные кинетические энергии.
Составляем левую часть уравнения Лагранжа по форме:
d/dt(dT/dq*) + dT/dq, где q - обобщенная координата.
В первом слагаемом сначала сначала берём частную производную от T по обобщенной скорости (то есть диффиринцируем все, что с q с точкой). Следом берём полную производную по времени от найденной производной (тут будет много сложных производных произведения, так как надо будет диффиринцировать как q с точкой, так и просто q). Таким образом находим первое слагаемое. Второе слагаемое - это просто частная производная от кинетической энергии T по обобщенной координате q (то есть просто диффиринцируем по q без точки).